Es gibt Situationen im Leben, die müssen wir einfach dem Zufall überlassen. Leicht fällt uns das nicht. Allzu gern möchten wir den Zufall herausfordern, ihn austricksen. Ist das möglich? Und ist es eigentlich wirklich vom Zufall abhängig, wie die Würfel fallen? Wir sprechen mit Prof. Dr. Christof Schütte vom Institut für Mathematik an der Freien Universität Berlin. Dabei erfahren wir auch, dass Pokerspiel und Aids-Therapie etwas gemeinsam haben.
n-tv.de: Herr Schütte, sind Würfelspiele wirklich vom Zufall abhängig? Oder spielen beim Fall eines Würfels einfach zu viele Faktoren eine Rolle, als dass wir das Ergebnis beeinflussen könnten?
Prof. Dr. Christof Schütte ist Leiter der BioComputing Group am Institut für Mathematik der Freien Universität Berlin und stellvertretener Sprecher des DFG-Forschungszentrums MATHEON.
Christof Schütte: Das kommt darauf an, was man unter Zufall versteht. Es stimmt, dass man normalerweise zumindest die Hoffnung haben könnte, den Fall eines Würfels voraussagen zu können, wenn einem nur genug Messungen und Informationen zur Verfügung ständen. Aber in Normalsituationen kann man sich all die notwendigen Informationen nicht beschaffen. Deswegen kommt man lieber auf eine einfachere Beschreibung zurück: auf den Zufall. Da Experimente ergeben, dass es sehr stark gleich verteilt ist, welche Augenzahl der Würfel zeigt, erstellt man in der Mathematik ein sogenanntes Zufallsmodell. Dort notiert man, dass jede Augenzahl gleich wahrscheinlich auftaucht. Das ist also eigentlich nur ein Hilfsmittel, das eine sehr komplizierte Umwelt auf etwas sehr Einfaches zurückführt.
Anders gesagt: Das, was wir Zufall nennen, ist mitunter nichts anderes als Unwissen?
Die Vorstellung, dass man den Würfel und seinen Fall vollständig beschreiben und daher auch vorhersagen kann, geht auf den Laplaceschen Dämon zurück. In der Mathematik aber gibt es die Chaostheorie, und …
Ein Dämon? Was hat es mit dem auf sich?
Laplace war ein französischer Mathematiker und Astronom, der 1814 einen philosophischen Essay über die Wahrscheinlichkeit veröffentlichte. Darin spricht er – stark verkürzt – von einer “Intelligenz”, die “alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist” und der “nichts ungewiss wäre”. Diese Intelligenz wurde später als Laplacescher Dämon bezeichnet.
Welchen Platz nun nimmt dieser Dämon im Würfelspiel ein?
Er besagt: Angenommen, man kennt alle Bedingungen perfekt, dann kann man voraussagen, was wirklich geschieht. Das heißt, das System, um das ich mich kümmere, hat die Eigenschaft, immer dasselbe zu tun, sofern alle Bedingungen gleich bleiben. Bei einigen solcher Systeme aber kann man nachweisen, dass das System bei allerkleinsten Änderungen etwas völlig anderes macht. Dieses “völlig andere” gehorcht einer gewissen Verteilung. Was rauskommen kann bei kleinsten Abweichungen, kann man daher mit Wahrscheinlichkeiten charakterisieren.
Die kleinsten Änderungen können beim Würfelspiel schon ein kleiner Lufthauch oder ein Stäubchen auf der Tischplatte sein. Deswegen sagt man aus mathematischer Sicht: Diese Vorstellung, dass man bei Kenntnis aller Informationen weiß, was passieren wird, diese Vorstellung kann man zwar im Prinzip haben, aber man kann nie alles so genau wissen, dass dieser Satz tatsächlich angewendet werden kann. Daher benutzt man die sehr viel einfachere Beschreibung mit dem Wort “Zufall”.
Gehorcht auch das Wetter diesem Zufallsprinzip?
Ja. Beim Wetter kann man den Anfangszustand nicht genau genug messen, um es über viele Tage voraussagen zu können. Auch das Wetter ist ein chaotisches System. Kleine Abweichungen von den Anfangsbedingungen – ungenaue, falsche Messungen – können nach drei bis vier Tagen völlig verschiedene Szenarien ergeben.
Mal ganz grundsätzlich: Woher wissen wir, dass es sich bei einem bestimmten Ereignis tatsächlich um einen Zufall handelt?
Ein Mathematiker würde nie sagen: “Das IST Zufall.” Denn Zufall gibt es ja vielleicht gar nicht. Ein Mathematiker würde bei bestimmten Systemen sagen: “Das kann man mit einem Zufallsexperiment gut beschreiben.” Dem Mathematiker geht es nämlich nur darum, das, was passiert, korrekt zu beschreiben. Und beschreiben können wir bestimmte Systeme mit dem Zufall, auch wenn es vielleicht gar kein Zufall ist.
Wie steht es ums Lotto?
… ist vielleicht auch gar kein Zufall. Wenn ich die Position aller Kugeln ganz genau kennen würde und jede kleinste Unebenheit in der Oberfläche der Maschine, dann könnte ich tatsächlich voraussagen, wie diese ganzen Kugeln am Ende rotieren, und wenn ich dann weiß, wann eingegriffen wird, weiß ich, welche Kugel gezogen wird. Aber niemand wird das ernsthaft versuchen wollen, auch weil das sicher ebenfalls ein chaotisches System ist …
Glücksspiele würden ohne Zufallselement stark an Reiz verlieren. Und dennoch wünscht man sich oft genug, man könnte den Zufall austricksen. Haben Sie als Mathematiker da einen Tipp?
Ja, mit Mathematik kann man in Zufallsszenarien einiges machen. Zum Pokern beispielsweise gibt es ausgearbeitete mathematische Theorien, die man relativ einfach nachvollziehen kann, wenn man ein bisschen was von dem Spiel versteht. Es geht darum, zu erkennen, wann man am besten mit dem Weiterbieten aufhören sollte. Für Mathematiker ist das ein optimales Stoppzeiten-Problem. Und ein solches gibt es nicht nur beim Poker, sondern zum Beispiel auch in der Aids-Therapie. Damit beschäftigen wir uns hier am Institut.
Auch in der Aids-Therapie spielen der Zufall und seine mathematische Beherrschbarkeit eine Rolle?
In dem einen Fall sind Sie der Pokerspieler, Ihnen gegenüber sitzt ein anderer Pokerspieler. In dem anderen Fall sind die Viren Ihr Gegner. Sie wissen nicht genau, was die machen. Und beim Poker wie bei der Virenbekämpfung wollen Sie als Sieger vom Tisch gehen.
Heutzutage bekommt jemand, der HIV-infiziert ist, ein Medikamenten-Cocktail, der den Typ Virus, den er hat, ziemlich gut unterdrücken kann. Gleichzeitig bilden sich Resistenzen gegen dieses Medikament. Die resistenten Viren werden von den Medikamenten nicht mehr bekämpft. Sie können sich teilweise in Zellen verstecken, wo sie von dem Medikament nicht mehr erreicht werden. Nach einer gewissen Zeit kommen sie wieder raus aus dem Versteck und überschwemmen dann den gesamten Organismus. Man muss also einen Zeitpunkt finden, an dem man von dem ersten Medikamenten-Cocktail auf einen anderen wechselt, bevor die resistenten Viren so zahlreich geworden sind, dass sie unkontrollierbar werden. Damit will man allerdings möglichst lange warten, denn es stehen nur endlich viele Medikamenten-Cocktails zur Verfügung. Man muss das Maximale aus dem ersten Medikament herausquetschen. Das ist das Stoppzeiten-Problem. Die Verbreitung eines Virus im Körper ist ein Zufallsprozess. Ob ein Virus mutiert oder nicht, lässt sich sehr gut durch ein Zufallsexperiment beschreiben. Die Medikamentengabe ist eine äußere Kontrolle, die man auf den Zufallsprozess Virusmutation ausübt.
Mathematisch lässt sich also ermitteln, wann man eingreifen muss, um bestimmte zufallsgeprägte Entwicklungen zu vermeiden?
Nicht nur das. Es lässt sich in anderen Situationen auch ermitteln, wann der vom Zufall abhängige erwartete Gewinn am größten ist. Ein typisches Beispiel aus Lehrbüchern: Sie haben eine große Waldfläche, von der Sie wissen, wie schnell Ihre Bäume im Durchschnitt wachsen. Wie schnell Ihre Bäume jedoch tatsächlich wachsen, hängt von vielen Zufällen ab. Vom Wetter, von Mineralverteilungen im Boden etc. Das lässt sich nicht alles in allen Details erfassen. Das bedeutet, Sie haben ein Zufallsmodell, wie schnell Ihr Wald wächst. Sie wollen ihn irgendwann abholzen, aber wann ist der optimale Zeitpunkt, auch bezogen auf den Holzpreis? Auch der fluktuiert zufällig. Und wann pflanzen Sie neue Bäume? Ziel ist immer der maximale Gewinn über eine lange Zeit. Das ist eine typische Fragestellung, und sie lässt sich mathematisch lösen. Übrigens lässt sie sich auf Stromnetze übertragen, wo der Zufallsprozess darin besteht, dass man nicht genau weiß, wie viele Kunden wann wie viel Strom entnehmen. Oder auf Gasnetze. Es gibt zahlreiche Probleme der so genannten stochastischen Optimierung, wo Sie in einem Zufallsumfeld entscheiden wollen, welche Strategie die beste ist, um ein Ziel zu optimieren.
Nachdem wir so viel über den Zufall gesprochen haben: Was hält ein Mathematiker vom Schicksal?
Da kommen wir wieder auf den Anfang des Gesprächs zurück. Der Begriff des Schicksals ist der Begriff der Vorherbestimmtheit, des Determinismus: Würden Sie alles kennen, wüssten Sie, was passiert. Die Eigenschaft von mathematischen, chaotischen Systemen zeigt, dass das vielleicht im Prinzip gilt, aber dass diese Kenntnis niemals genau genug eingenommen werden kann, um alle Systeme voraussagen zu können. In vielen Zusammenhängen sind Theorien, die Zufallsbegriffe benutzen, sehr viel einfacher und testsicherer als Modelle, die Determinismus oder Schicksal benutzen. Selbst wenn es also das Schicksal gibt, würde ein Mathematiker sagen, dass ihm diese Information nichts nützt.
Mit Christof Schütte sprach Andrea Schorsch.
aus: n-tv.de/wissen
